Question

【題目】如圖，在矩形AFCG中，BD垂直平分對角線AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O，連接AD，BC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若E為AB的中點，DE⊥AB，求∠BDC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD垂直平分AC，

∴OA=OC，AD=CD，AB=BC，

∵四邊形AFCG是矩形，

∴CG∥AF，

∴∠CDO=∠ABO，∠DCO=∠BAO，

∴△COD≌△AOB，

∴CD=AB，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）證明：∵E為AB中點，DE⊥AB，

∴DE垂直平分AB，

∴AD=DB，

∵AD=AB，

∴△ADB為等邊三角形，

∴∠DBA=60°，

∵CD∥AB，

∴∠BDC=∠DBA=60°．

【解析】（1）只要證明AB=BC=CD=DA即可；（2）只要證明△ADB是等邊三角形即可解決問題；
【考點精析】利用線段垂直平分線的性質和矩形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．