Question

【題目】已知四邊形和四邊形都是正方形，且．

（1）如圖1，連接、．求證：；

（2）如圖2，將正方形繞著點旋轉到某一位置時恰好使得，．求的度數；

（3）在（2）的條件下，當正方形的邊長為時，請直接寫出正方形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據正方形的性質可得，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，然后利用SAS即可證出≌，從而得出結論；

（2）連接，由，，得：，利用SAS證出 ，從而證出是等邊三角形，得出，即可求出結論；

（3）過點G作GM⊥BC，交BC的延長線于點M，設CM=x，則GM=x，CG=x，在Rt△BGM中，根據勾股定理，列出方程，即可求解．

證明：（1）∵四邊形和是正方形

∴，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°

∴∠BCD＋DCG=∠GCE＋DCG

∴

在和中，

，

∴≌．

∴；

（2）解：如圖連接，

，

∴

∵

∴

∴

∴

在和中，

，

∴．

∴，

∴，

∴是等邊三角形．

∴；

∵

∴．

（3）解：過點G作GM⊥BC，交BC的延長線于點M，如圖2，

∵，

∴∠GCM=45°，

設CM=x，則GM=x，CG=x，

∵正方形的邊長為，

∴BC=，BG=BD=4，

∵在Rt△BGM中，BM2+GM2=BG2，

∴，

解得：，（舍）

∴，

即：正方形的邊長是：．