Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BCA＝90°，BC＝AC，直角頂點C在y軸上，銳角頂點A在x軸上．

（1）如圖①，若點C的坐標是（0，﹣1），點A的坐標是（﹣3，0），求B點的坐標；

（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點D，過點B作BE⊥x軸于E，問AD與BE有怎樣的數量關系，并說明理由；

（3）如圖③，直角邊AC在兩坐標軸上滑動，使點B在第四象限內，過B點作BF⊥x軸于F，在滑動的過程中，猜想OC、BF、OA之間的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）B（1，2）；（2）AD＝2BE，理由見解析；（3）OC＝BF+OA，理由見解析

【解析】

（1））如圖①，過B作BG⊥y軸于G，證明△AOC≌△CGB（AAS），得AO=CG=3，OC=BG=1，表示點B的坐標；

（2）如圖②，延長BE、AC交于H，證明△AEB≌△AEH（ASA），得BE=EH，即BH=2BE，再證明△ACD≌△BCH（ASA），可得結論；

（3）如圖③，過C作CM⊥BF，交FB的延長線于M，證明△AOC≌△BMC（AAS），四邊形OCMF為矩形，根據線段的和可得結論．

（1）如圖①，過B作BG⊥y軸于G，

∵點C的坐標是（0，﹣1），點A的坐標是（﹣3，0），

∴OC＝1，OA＝3，

∵∠BCA＝90°，

∴∠ACO+∠BCG＝90°，

∵∠BCG+∠CBG＝90°，

∴∠ACO＝∠CBG，

∵AC＝BC，∠AOC＝∠BGC＝90°，

∴△AOC≌△CGB（AAS），

∴AO＝CG＝3，OC＝BG＝1，

∴OG＝3﹣1＝2，

∴B（1，2）；

（2）如圖②，AD＝2BE，

理由是：延長BE、AC交于H，

∵BE⊥x軸，

∴∠AEB＝∠AEH＝90°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵AE＝AE，

∴△AEB≌△AEH（ASA），

∴BE＝EH，即BH＝2BE，

∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，

∴∠CAD＝∠CBH，

∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCH＝90°，

∴△ACD≌△BCH（ASA），

∴AD＝BH＝2BE；

（3）OC＝BF+OA，

理由是：如圖③，過C作CM⊥BF，交FB的延長線于M，

同理可得：△AOC≌△BMC（AAS），

∴AO＝BM，OC＝CM，

∵∠COF＝∠OFM＝∠M＝90°，

∴四邊形OCMF為矩形，

∴FM＝OC，

∴FM＝BF+BM，

∴OC＝BF+OA．