Question

【題目】如圖，內接于且．延長至點，使．連接交于點．連接．

（1）求證：；

（2）填空：①當的度數為_____時，四邊形是菱形：②若的長為

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①60°，②

【解析】

（1）由，可得∠ABC=∠ACB，由圓的內接四邊形的性質及等量代換可得，根據AAS即可證明兩個三角形全等；

（2）①先證明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得AOCE，由OA＝OC可得結論；

②證明△AEF∽△DEC，然后依據相似三角形的性質列比例式求解即可．

解：（1）證明：，

，

四邊形是圓內接四邊形，

，

，

，

（2）①當∠ABC的度數為60°時，四邊形AOCE是菱形；
理由是：連接AO、OC，
∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，
∴∠ABC＋∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝180°-∠ABC=120°，

∠AOC=2∠ABC=120°，

∴∠AEC=∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°120°30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四邊形AOCE是平行四邊形，
∵OA＝OC，
∴AOCE是菱形；

②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝3，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，

∴，即

∴ED=

故答案為：①60°；②