Question

（9分）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠BPC=60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D．

（1）求證：△ADP∽△BDA；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2） PA+PB=PC，證明詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先作⊙O的直徑AE，連接PE，利用切線的性質以及圓周角定理得出∠PAD=∠PBA進而得出答案；

（2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；

（3）利用△ADP∽△BDA，得出，求出BP的長，進而得出△ADP∽△CAP，則，則AP2=CPPD求出AP的長，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE，

∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線，

∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，

∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，

∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，

證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF，

∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等邊三角形，

∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，

∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，

在△BPA和△BFC中，，

∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）【解析】
∵△ADP∽△BDA，∴==，

∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，

∴AP2=CPPD，∴AP2=（3+AP）1，

解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．

考點：切線的性質；圓周角定理；全等三角形的判定和性質；相似三角形的判定和性質．