Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，4）、B（﹣3，0），將線段AB沿x軸正方向平移n個單位得到菱形ABCD．

（1）畫出菱形ABCD，并直接寫出n的值及點D的坐標；

（2）已知反比例函數y＝的圖象經過點D，ABMN的頂點M在y軸上，N在y＝的圖象上，求點M的坐標；

（3）若點A、C、D到某直線l的距離都相等，直接寫出滿足條件的直線解析式．

Answer 1

【答案】（1）n＝5，點D坐標為（5，4）；（2）M（0，）；（3）y＝﹣2x+9．

【解析】

（1）由勾股定理和菱形的性質可得AB＝BC＝CD＝AD＝5，即可求n的值及點D的坐標；

（2）過點N作NH⊥OA于點H，由平行四邊形的性質可得AN＝BM，AN∥BM，可得∠BMO＝∠NAH，由“AAS”可證△ANH≌△MBO，可得HN＝BO＝3，MO＝AH，即可求點M坐標；

（3）由點A、C、D到某直線l的距離都相等，可得直線l是△ACD的中位線所在直線，由待定系數法可求直線解析式．

解：（1）如圖，

∵點A（0，4）、B（﹣3，0），

∴AO＝4，BO＝3，

∴AB＝＝5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，

∵將線段AB沿x軸正方向平移n個單位得到菱形ABCD，

∴n＝5，點C坐標為（2，0），點D坐標為（5，4）；

（2）∵反比例函數y＝的圖象經過點D，

∴k＝4×5＝20，

∵N在y＝的圖象上，

∴設點N（a，），

如圖，過點N作NH⊥OA于點H，

∵四邊形ABMN是平行四邊形

∴AN＝BM，AN∥BM，

∴∠BMA＝∠NAM，

∴∠BMO＝∠NAH，且AN＝BM，∠BOM＝∠NHA＝90°，

∴△ANH≌△MBO（AAS），

∴HN＝BO＝3，MO＝AH，

∴HN＝a＝3，HO＝，

∴OM＝AH＝HO﹣AO＝，

∴點M（0，）；

（3）∵點A、C、D到某直線l的距離都相等，

∴直線l是△ACD的中位線所在直線，

如圖所示：

若直線l過線段AC，CD中點，

∴直線l的解析式為：y＝2，

若直線l過線段AD，AC中點，即直線l過點（，4），點（1，2），

設直線l的解析式為：y＝mx+n

∴ ，

解得：m＝，n＝，

∴直線l的解析式為：y＝，

若直線l過線段AD，CD中點，即直線l過點（，4），點（，2），

設直線l解析式為：y＝kx+b

∴，

解得：k＝﹣2，b＝9，

∴直線l的解析式為：y＝﹣2x+9.