Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）題中的拋物線上有一個動點P，當點P在拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=8，并求出此時P點的坐標；

（3）設（1）題中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）點P的坐標為（2+1，4），（﹣2+1，4），（1，﹣4）；（3）存在， Q點坐標為（1，﹣2）．

【解析】(1)∵拋物線y=x2+bx+c與軸的兩個交點分別為A(-1,0)，B(3,0)

∴┄ 2分

解之，得┄ 3分

∴所求拋物線的解析式為：y=x2-2x-3 ┄ 4分

(2)設點P的坐標為(x,y)，由題意，得

S△ABC=×4×|y|=8 ┄ 5分

∴|y|=4， ∴ y=±4 ┄ 6分

當y=4時， x2-2x-3=4 ∴ x1=1+, x2=1-┄ 7分

當y=-4時，x2-2x-3=-4 ∴ x=1 ┄ 8分

∴當P點的坐標分別為、、(1,-4)時，S△PAB="8." ┄ 9分

(3) 解法1：

在拋物線y=x2-2x-3的對稱軸上存在點Q, 使得ΔQAC的周長最小. ┄ 10分

∵AC長為定值，∴要使ΔQAC的周長最小，只需QA+QC最小.

∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是B(3,0),

拋物線y=x2-2x-3與y軸交點C的坐標為(0,-3)

∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點 ┄ 11分

設直線BC的解析式為y=kx-3.

∵直線BC過點B(3,0) ∴ 3k-3=0 ∴ k=1.

∴直線BC的解析式為 y=x-3 ┄ 12分

∴當x=1時，y=-2.

∴點Q的坐標為(1,-2). ┄ 13分

(3) 解法2：

在拋物線y=x2-2x-3的對稱軸上存在點Q ，使得ΔQAC的周長最小. ┄ 10分

∵AC長為定值，∴要使ΔQAC的周長最小，只需QA+QC最小

∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是B(3,0),

拋物線y=x2-2x-3與y軸交點C的坐標為(0,-3)

∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點. ┄ 11分

∵OC∥DQ,

∴ΔBDQ∽ΔBOC.

∴，即. ┄ 12分

∴DQ=2. ∴點Q的坐標為(1,-2). ┄ 13分

（1）已知了拋物線過B、C兩點，而拋物線的解析式中也只有兩個待定系數，因此可將B、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值，也就出了二次函數的解析式．

（2）根據（1）中得出的拋物線的解析式，可求得A點的坐標，也就能得出AB的長．△PAB中，AB的長為定值，那么可根據△PAB的面積求出P到AB的距離，即P點縱坐標的絕對值，然后將其代入拋物線的解析式中（分正負兩個值）即可求出P點的坐標．

（3）本題的關鍵是找出Q點的位置，已知了B與A點關于拋物線的對稱軸對稱，因此只需連接BC，直線BC與對稱軸的交點即為Q點．可根據B、C兩點的坐標先求出直線BC的解析式，然后聯立拋物線對稱軸的解析式即可求出Q點的坐標．