Question

【題目】如圖，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M在△ABC內，AM平分∠BAC．點E與點M在AC所在直線的兩側，AE⊥AB，AE＝BC，點N在AC邊上，CN＝AM，連接ME、BN；

（1）根據題意，補全圖形；

（2）ME與BN有何數量關系，判斷并說明理由；

（3）點M在何處時BM+BN取得最小值？請確定此時點M的位置，并求出此時BM+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）ME＝BN，理由見解析；（3）當B，M，E三點共線時，BM+BN的最小值是．

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）如圖1，延長AM交BC于點F，根據角平分線的等于及垂直的等于可得∠MAE+∠CAM＝90°，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得AF⊥BC，可得∠C+∠CAM＝90°，即可證明∠MAE=∠C，利用SAS即可證明△AME≌△CNB，根據全等三角形的性質可得ME=BN；

（3）由（2）知ME＝BN，則當B，M，E三點共線時，此時BM+BN取得最小值，根據勾股定理求出BE的長即可得答案．

（1）如圖1所示：

（2）ME＝BN．

如圖1，延長AM交BC于點F，

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAM＝∠CAM．

∵AE⊥AB，

∴∠MAE+∠BAM＝90°．

∴∠MAE+∠CAM＝90°

∵AB＝AC，AM平分∠BAC，

∴AF⊥BC．

∴∠C+∠CAM＝90°．

∴∠MAE＝∠C．

又∵AM＝CN，AE＝BC，

∴△AME≌△CNB（SAS）．

∴ME＝BN．

（3）由（2）知ME＝BN，則當B，M，E三點共線時，此時BM+BN取得最小值，點M的位置如圖2，

∴BE即是BM+BN的最小值，

∵AB＝5，BC＝6，

∴AE＝BC＝6，

∴BE＝＝＝．

∴BM+BN的最小值是．