Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝﹣x+b的圖象與反比例函數（k＞0）的圖象相交于A，B兩點，與x軸相交于點C(4，0)，且點B(3，n)，連接OB．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）求△BOC的面積；

（3）將直線AB向下平移，若平移后的直線與反比例函數的圖象只有一個交點，試說明直線AB向下平移了幾個單位長度．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4，y＝；（2）2；（3）4+2或4﹣2

【解析】

（1）用待定系數法即可求解；

（2）△BOC的面積＝OC×BD＝×4×1＝2；

（3）直線AB向下平移m個單位后和反比例函數只有一個公共點，則＝﹣x+4﹣m，整理得：x2+（m﹣4）x+3＝0，△＝b2﹣4ac＝0，即可求解．

（1）將點C的坐標代入一次函數表達式y＝﹣x+b并解得：b＝4，

故一次函數的表達式為：y＝﹣x+4，

將點B的坐標代入y＝﹣x+4得：n＝﹣3+4＝1，故點B（3，1），

將點B的坐標代入反比例函數表達式并解得：k＝3，

故反比例函數表達式為：y＝；

（2）過點B作BD⊥x軸于點D，則BD=1，又OC=4，

則△BOC的面積＝OC×BD＝×4×1＝2；

（3）將直線AB向下平移m個單位（m＞0）得到直線的表達式為：y＝﹣x+4+m，

∵直線AB向下平移m個單位后和反比例函數只有一個公共點，則＝﹣x+4﹣m，整理得：x2+（m﹣4）x+3＝0，

∴△＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×3＝0，解得：m＝4±2，

故直線AB向下平移了4+2或4﹣2個長度單位．