Question

【題目】把兩塊含45°角的直角三角板按圖1所示的方式放置，點D在BC上，連結BE、AD，AD的延長線交BE于點F．
（1）如圖1，求證：BE=AD，AF⊥BE；
（2）將△ABC繞點C順時針旋轉（如圖2），連結BE、AD，AD分別交BE、BC于點F、G，那么（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，

在Rt△ACD中，

∵∠CDA+∠CAD=90°，∠BDF=∠CDA

∴∠BDF+∠DBF=90°，

即：AF⊥BE

（2）成立，理由如下：

在△BCE和△ACD中，

∵∠BCE=∠ACD=90°，

∴∠DCE+∠DCB=∠ACB+∠BCD，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，

在Rt△ACG中，

∵∠CGA+∠CAG=90°，∠BGF=∠CGA．

∴∠BGF+∠GBF=90°，

即：AF⊥BE

【解析】（1）由SAS判定△ECB≌△DCA，根據全等三角形的性質可知：對應邊相等AD=BE、對應角相等∠BEC=∠ADC；加上已知條件來求∠AFE=90°即可；（2）成立，利用已知條件可證明△BCE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質以及已知條件證明即可證明BE=AD，AF⊥BE．
【考點精析】利用旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．