Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點，HA=EB=FC=GD，連接EG，FH，交點為O．

（1）如圖2，連接EF，FG，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；

（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形．若正方形ABCD的邊長為3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，則圖3中陰影部分的面積為 cm2．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是正方形．證明見解析；（2）1.

【解析】

試題分析：（1）先證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四邊形GHEF是菱形，再根據全等三角形角之間的關系，又可得出菱形的一個角是直角，那么就可得出四邊形GHEF是正方形．

（2）根據已知條件，可以知道重新拼成的四邊形是正方形（因為正方形GHEF的對角線翻到了外邊，做了新拼成的正方形的邊長），利用勾股定理求出GF和GO、FO的長，所的面積是10減去4個四邊形GOFC的面積就是陰影部分的面積．

解：（1）四邊形EFGH是正方形．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，

∵HA=EB=FC=GD，

∴AE=BF=CG=DH，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵△DHG≌△AEH，

∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∴四邊形EFGH是正方形．

（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，

∴GF=EF=EH=GH=，

∵由（1）知，四邊形EFGH是正方形，

∴GO=OF，∠GOF=90°，

由勾股定理得：GO=OF=，

∵S四邊形FCGO=×1×2+××=，

∴S陰影=﹣S四邊形FCGO×4=10﹣9=1．