Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，連接DF．

（1）求證：△ABF是等邊三角形；

（2）若∠CDF=45°，CF=2，求AB的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據在ABCD中，∠ABC=60°，可以得到∠DAB的度數，然后根據AF平分∠DAB，可以得到∠FAB的度數，然后等邊三角形的判定方法即可得到△ABF是等邊三角形；

（2）作FG⊥DC于點G，然后根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可以得到CG、FG的長，然后即可得到DG的長，從而可以得到DC的長，然后即可得到AB的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DAB=120°，

∵AF平分∠DAB，

∴∠FAB=60°，

∴∠FAB=∠ABF=60°，

∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，

∴△ABF是等邊三角形；

（2）作FG⊥DC于點G，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=60°，

∴DC∥AB，DC=AB，

∴∠FCG=∠ABC=60°，

∴∠GFC=30°，

∵CF=2，∠FGC=90°，

∴CG=1，FG=，

∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，

∴∠FDG=∠DFG=45°，

∴DG=FG=，

∴DC=DG+CG=，

∴AB=，

即AB的長度是．