Question

【題目】已知：如圖，點A在y軸上，⊙A與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D（0，3）和點E（0，﹣1）

（1）求經過B、E、C三點的二次函數的解析式；

（2）若經過第一、二、三象限的一動直線切⊙A于點P（s，t），與x軸交于點M，連接PA并延長與⊙A交于點Q，設Q點的縱坐標為y，求y關于t的函數關系式，并觀察圖形寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當y=0時，求切線PM的解析式，并借助函數圖象，求出（1）中拋物線在切線PM下方的點的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1（2）y=﹣t+2（1＜t＜3）（3）＜x＜

【解析】試題分析：（1）已知點D（0，3）和點E（0，-1），可以得到圓的直徑，連接AC，根據垂徑定理，以及勾股定理就可以求出OB，OE，OC的長度，得到三點的坐標，根據待定系數法就可以求出二次函數的解析式．

（2）過點P作PF⊥y軸于F，過點Q作QN⊥y軸于N，易證△PFA≌△QNA，則FA=NA，即|t-1|=|1-y|，即可得到函數解析式．

（3）當y=0時，Q點與C點重合，連接PB，由PC為 A的直徑可以得到PB⊥x軸，就可以求出P點的坐標．求出直線PM的解析式，求出切線PM與拋物線y=x2-1交點坐標，橫坐標x的范圍就在兩個交點之間．

試題解析：（1）連接AC，

∵DE為⊙A的直徑，DE⊥BC，

∴BO=CO，

∵D（0，3），E（0，﹣1），

∴DE=|3﹣（﹣1）|=4，OE=1，

∴AO=1，AC=DE=2，

在Rt△AOC中，AC2=AO2+OC2，

∴OC=，

∴C()，B（-），

設經過B、E、C三點的拋物線的解析式為y=a(x-)(x+)，

則﹣1=a（0﹣）（0+），

解得a=，

∴y=（x﹣）（x+）=x2﹣1；

（2）過點P作PF⊥y軸于F，過點Q作QN⊥y軸于N，

∴∠PFA=∠QNA=90°，F點的縱坐標為t，N點的縱坐標為y，

∵∠PAF=∠QAN，PA=QA，

∴△PFA≌△QNA，

∴FA=NA，

∵AO=1，

∴A（0，1），

∴|t﹣1|=|1﹣y|，

∵動切線PM經過第一、二、三象限

觀察圖形可得1＜t＜3，﹣1＜y＜1；

∴t﹣1=1﹣y．

即y=﹣t+2．

∴y關于t的函數關系式為y=﹣t+2（1＜t＜3）

（3）當y=0時，Q點與C點重合，連接PB，

∵PC為⊙A的直徑，

∴∠PBC=90°，

即PB⊥x軸，

∴s=﹣，

將y=0代入y=﹣t+2（1＜t＜3），得0=﹣t+2，

∴t=2，P（﹣，2），

設切線PM與y軸交于點I，則AP⊥PI，

∴∠API=90°

在△API與△AOC中，

∵∠API=∠AOC=90°，∠PAI=∠OAC

∴△API≌△AOC，

∴

∴I點坐標為（0，5）

設切線PM的解析式為y=kx+5（k≠0），

∵P點的坐標為(﹣，2)，

∴2=﹣3 k+5．

解得k=，

∴切線PM的解析式為y=x+5，

設切線PM與拋物線y=x2﹣1交于G、H兩點

由可得x1=，x2=，

因此，G、H的橫坐標分別為、，

根據圖象可得拋物線在切線PM下方的點的橫坐標x的取值范圍是＜x＜.