Question

將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10．

（1）如圖（1），在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標；
（2）如圖（2），在OA、OC邊上選取適當的點E′、F，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上D′點，過D′作D′G∥AO交E′F于T點，交OC于G點，求證：TG=AE′；
（3）在（2）的條件下，設T（x，y）．①探求：y與x之間的函數關系式．②指出變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據折疊的性質得出DC=OC=10，在Rt△BCD中，運用矩形的性質及勾股定理得出BD=8，然后在Rt△AED中，由勾股定理得OE²=2²+（6-OE）²，解方程求出OE的長，進而求出點E的坐標；
（2）先由折疊的性質得出∠D′E′F=∠OE′F，由平行線的性質得出∠OE′F=∠D′TE′，則∠D′E′F=∠D′TE′，根據等角對等邊得到D′T=D′E′=OE′，則TG=AE′；
（3）①由T（x，y），得出AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y，在Rt△AD′E′中，根據勾股定理得出AD′²+AE′²=D′E′²，即x²+y²=（6-y）²，整理可求出y與x的函數關系式；
②在（1）中給出的情況就是x的最小值的狀況，可根據AD的長求出x的最小值，當x取最大值時，E′F平分∠OAB，即E′與A重合，四邊形AOFD′為正方形，可據此求出此時x的值，有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范圍．
解答：解：（1）如圖（1），∵將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，
∴DC=OC=10．
在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，
∴BD==8．
在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，
∴DE²=AD²+AE²，即OE²=2²+（6-OE）²，
解得 OE=，
∴E點的坐標為（0，）；

（2）如圖（2），∵將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上D′點，
∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，
∵D′G∥AO，
∴∠OE′F=∠D′TE′，
∴∠D′E′F=∠D′TE′，
∴D′T=D′E′=OE′，
∴TG=AE′；

（3）①∵T（x，y），
∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y．
在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，
∴AD′²+AE′²=D′E′²，即x²+y²=（6-y）²，
整理，得y=-x²+3；

②結合（1）可得AD′=OG=2時，x最小，從而x≥2，
當E′F恰好平分∠OAB時，AD′最大即x最大，
此時G點與F點重合，四邊形AOFD′為正方形，即x最大為6，從而x≤6，
故變量x的取值范圍是2≤x≤6．
點評：本題考查了圖形的翻折變換，矩形的性質，勾股定理，平行線的性質，等腰三角形的判定，函數解析式的求法等知識，綜合性較強，難度適中，主要運用數形結合的思想方法．