Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）連接CB，點K是線段CB的中點，點M是y軸上的一點，點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE，當△PCE的面積最大時，求KM+PM的最小值；

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y=x2﹣2x﹣3沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為點F，在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AE的解析式為y=x+1；（2）當△PCE的面積最大時，KM+PM的最小值為；（3）點Q的坐標為（3，-4-）或（3，-4+）或（3，6）或（3，）．

【解析】

（1）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、B、E的坐標，根據點A、E的坐標，利用待定系數法即可求出直線AE的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，根據點C、E的坐標，利用待定系數法即可求出直線CE的解析式，過點P作PP′∥y軸，交直線CE于點P′，作點K關于y軸對稱點K′，連接PK′交y軸于點M，此時PM+KM取最小值PK′，設點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則點P′的坐標為（x，2x﹣3），PP′=﹣x2+4x，根據三角形面積公式可得出S△PCE=﹣2x2+8x，配方后可得出：當x=2時，△PCE的面積取最大值，此時點P的坐標為（2，﹣3），由點B、C的坐標可得出點K、K′的坐標，再利用兩點間的距離公式可求出當△PCE的面積最大時KM+PM的最小值；

（3）根據平移的性質結合平移后的拋物線過點D可求出平移后拋物線的解析式，進而可求出其頂點F的坐標，由點C、E的坐標可求出點G的坐標，設點Q的坐標為（3，a），則GF==，FQ=|a+4|，GQ==，根據等腰三角形的性質分GF=FQ、GF=GQ、FQ=GQ三種情況求出a的值，此題得解．

（1）當y=0時，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．

當x=4時，y=x2﹣2x﹣3=5，∴E（4，5）．

設直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（﹣1，0）、E（4，5）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直線AE的解析式為y=x+1．

（2）當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴C（0，﹣3），設直線CE的解析式為y=mx﹣3（m≠0），將點E（4，5）代入y=mx﹣3中，得：

4m﹣3=5，解得：m=2，∴直線CE的解析式為y=2x﹣3．

在圖2中，過點P作PP′∥y軸，交直線CE于點P′，作點K關于y軸對稱點K′，連接PK′交y軸于點M，此時PM+KM取最小值PK′．

設點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則點P′的坐標為（x，2x﹣3），PP′=﹣x2+4x，∴S△PCE=PP′（xE﹣xC）=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，∴當x=2時，△PCE的面積取最大值，此時點P的坐標為（2，﹣3）．

∵B（3，0），C（0，﹣3），K是線段CB的中點，∴K（，﹣），K′（﹣，﹣），∴PK′==，∴當△PCE的面積最大時，KM+PM的最小值為．

（3）設平移后的拋物線的解析式為y=（x﹣t）2﹣2（x﹣t）﹣3（t＞0）．

∵平移后的拋物線過點D（1，0），∴（1﹣t）2﹣2（1﹣t）﹣3=0，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去），∴平移后拋物線的解析式為y=（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴F（3，﹣4）．

∵C（0，﹣3），E（4，5），點G是線段CE的中點，∴G（2，1）．

設點Q的坐標為（3，a），則GF==，FQ=|a+4|，GQ==．

∵△FGQ為等腰三角形，∴分三種情況．

①當GF=FQ時，有=|a+4|，解得：a1=﹣4，a2=﹣﹣4，∴點Q（3，﹣4）或（3，﹣﹣4）；

②當GF=GQ時，有=，解得：a3=6，a4=﹣4（舍去），∴點Q（3，6）；

③當FQ=GQ時，有|a+4|=，解得：a=﹣，∴點Q（3，﹣）．

綜上所述：在新拋物線y′的對稱軸上，存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形，點Q的坐標為（3，）或（3，）或（3，6）或（3，）．