Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．點M是AB邊上一點，且∠CMB＝45°．點Q是直線AB上一點且在點B的右側，BQ＝4，點P從點Q出發，沿射線QA方向以每秒2個單位長度的速度運動，設運動時間為t秒．以P為圓心，PC長為半徑作半圓P，交直線AB分別于點G，H(點G在點H的左側)．

（1）當t＝1秒時，PC的長為　　　　，t＝　　　　秒時，半圓P與AD相切；

（2）當點P與點B重合時，求半圓P被矩形ABCD的對角線AC所截得的弦長；

（3）若∠MCP＝15°，請直接寫出扇形HPC的弧長為 ．

Answer 1

【答案】（1）；； （2） ； （3）π或π．

【解析】

（1）由點P的運動速度可找出t=1秒時PQ的長，進而可得出BP的長，在Rt△BCP中，利用勾股定理可求出PC的長；設當半圓P與AD相切時，BP=x，則PC=PA=4-x，利用勾股定理可得出關于x的方程，解之即可得出x的值，再結合PQ=BQ+BP即可求出此時t的值；
（2）過點B作BE⊥AC于點E，利用面積法可求出BE的長，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的長，再利用垂徑定理可求出半圓P被矩形ABCD的對角線AC所截得的弦長；
（3）分點P在點M的左側和點P在點M的右側兩種情況考慮：①當點P在點M的右側時，∠CPB=60°，通過解直角三角形可求出PC的長，再利用弧長公式得到結論；②當點P在點M的左側時，∠CPB=30°，通過解直角三角形可求出PC的長，再再利用弧長公式得到結論．

（1）當t=1秒時，PQ=2，
∴BP=BQ-PQ=2，
在Rt△BCP中，BP=2，BC=3，
∴PC=，
設當半圓P與AD相切時，BP=x，則PC=PA=4-x，
∴x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
∴PQ=4+=，
∴當t= 時，半圓P與AD相切；
故答案為：；；
（2）過點B作BE⊥AC于點E，如圖2所示．

∵AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∴BE=．
在Rt△BCE中，BC=3，BE=，
∴CE=，
∴半圓P被矩形ABCD的對角線AC所截得的弦長為 ；
（3）分兩種情況考慮，如圖3所示：

①當點P在點M的右側時，∵∠CMB=45°，∠MCP=15°，
∴∠MCB=45°，∠PCB=30°，
∴∠CPB=60°，CP= ，
∴扇形HPC的弧長為 π；
②當點P在點M的左側時，∵∠MCB=45°，∠MCP=15°，
∴∠PCB=∠MCB+∠MCP=60°，
∴∠CPB=30°，CP==6，
∴扇形HPC的弧長為=π，
綜上所述，若∠MCP=15°，扇形HPC的弧長為π或π，
故答案為：π或π．