Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，過點B作BD⊥AB，點C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圓⊙O于點E．

（1）求證：∠CAB＝∠AEC．

（2）若BC＝3．

①EC∥BD，求AE的長．

②若△BDC為直角三角形，求所有滿足條件的BD的長．

（3）若BC＝EC＝ ，則＝　 　．（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AE＝，②BD＝ ；（3）.

【解析】

（1）利用圓的內接四邊形的性質以及等角的余角相等的性質易證明出結論成立；

（2）延長AC交BD于點F，利用平行線等分線段和相似三角形對應邊成比例求解即可；

（3）利用勾股定理和相似三角形分別求出AE和BD的長，依據對應邊等高三角形的面積比是對應邊之比，進而求解；

證明：（1）∵四邊形BCED內接于⊙O

∴∠AEC＝∠DBC

又∵DB⊥AB

∴∠ABC+∠DBC＝90°

又∵∠ACB＝90°

∴在Rt△ABC中，∠CAB+∠ABC＝90°

∴∠DBC＝∠CAB

∴∠CAB＝∠AEC

（2）①如圖1延長AC交BD于點F，延長EC交AB于點G．

∵在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3

∴由勾股定理得，AC＝4

又∵BC⊥AF，AB⊥BF

∠AFB＝∠BFC

∴Rt△AFB∽Rt△BFC

∴

∴BC2＝CFAC

即9＝CF4，解得，CF＝

又∵EC∥BD

∴CG⊥AB

∴ABCG＝ACBC

即5CG＝4×3，解得，CG＝

又∵在Rt△ACG中，AG＝=

又∵EC∥DB

∴∠AEC＝∠ADB

由（1）得，∠CAB＝∠AEC

∴∠ADB＝∠CAB

又∵∠ACB＝∠DBA＝90°

∴Rt△ABC∽Rt△DBA

∴

得AD＝

又∵EG∥BD

∴

得AE＝

②當△BDC是直角三角形時，如圖二所示

∵∠BCD＝90°

∴BD為⊙O直徑

又∵∠ACB＝90°

∴A、C、D三點共線

即BC⊥AD時垂足為C，此時C點與E點重合．

又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90°

∴Rt△ACB∽Rt△ABD

∴

得AD＝

又∵在Rt△ABD中，BD＝

③如圖三，由B、C、E都在⊙O上，且BC＝CE＝

∴

∴∠ADC＝∠BDC

即DC平分∠ADB

過C作CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB垂足分別為M、N．，H．

∵在Rt△ACB中AB＝5，BC＝

∴AC＝2

又∵在Rt△ACB中CH⊥AB

∴ABCH＝ACBC

即5CH＝2×

解得，CH＝2

∴MB＝2

又∵DC平分∠ADB

∴CM＝CN

又∵在Rt△CHB中BC＝5，CH＝2

∴HB＝1

∴CM＝CN＝1

又∵在△DCN與△DCM中

∴△DCN與△DCM（AAS）

∴DN＝DM

設DN＝DM＝x

則BD＝x+2，AD＝x+

在Rt△ABD中由AB2+BD2＝AD2得，

25+（x+2）2＝（x+）2

解得，x＝

∴BD＝BM+MD＝2+＝

又由（1）得∠CAB＝∠AEC，且∠ENC＝∠ACB

∴△ENC∽△ACB

∴

∴NE＝2

又∵在Rt△CAN中CN＝1，AC＝2

∴AN＝＝

∴AE＝AN+NE＝+2

又∵S△BCD＝BDCM，S△ACE＝AECN，CM＝CN

∴

故.