Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為，為邊上一點（不與端點重合），將沿對折至，延長交邊于點，連接，．

①__________；

②若為的中點，則的面積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

①由折疊得∠DAE=∠FAE，AD=AF=AB，再由HL定理證明Rt△ABG≌Rt△AFG得∠BAG=∠FAG，從而可以求出∠EAG的度數；

②設BG=GF=y，則CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的兩個三角形的面積比等于底邊之比，求得△CGF的面積.

解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=a，∠DAE=∠FAE.
∵將△ADE沿AE對折至△AFE，
∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=×90°=45°；

②若E為CD的中點，則DE=CE=EF=a，
設BG=GF=y，則CG=a-y，
CG2+CE2=EG2，
即(ay)2+(a)2＝(a+y)2，
解得y=a，
∴BG=GF=a，CG=a-a＝a，
∴＝=.

∴S△CFG＝S△CEG＝××a×a＝a2.

故答案為：①45°；②a2.