Question

【題目】在等腰中，，作的平分線交于點，將繞點旋轉，使的兩邊交直線于點，交直線于點．

（1）當繞點旋轉到如圖①的位置時，請直接寫出三條線段的數量關系；

（2）當繞點旋轉到如圖②的位置時，（1）中結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請寫出正確的結論，并說明理由；

（3）若，當時，請直接寫出線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不成立，應為，見解析；（3） 或

【解析】

（1）結論：AE+CF=AD．如圖1中，作DH⊥BC于H．證明△DAE≌△DHF（ASA），即可解決問題．
（2）結論不成立．應為CF-AE=AD．如圖②中，作DG⊥BC于點G，證明△DAE≌E△DGF（ASA），即可解決問題．
（3）分兩種情形分別求解：①如圖③-1中，作DH⊥BC于H．求出AD=DH=CH=1，利用（1）中結論即可解決問題．②如圖③-2中，當∠CDF=15°時，作DH⊥BC于H，求出FH=即可解決問題．

（1）結論：AE+CF=AD．
理由：如圖1中，作DH⊥BC于H．

∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠A=∠DHB=90°，
∴∠ADH=360°-90°-90°-45°=135°，
∵∠EDF=135°，
∴∠ADH=∠EDF，
∴∠ADE=∠HDF，
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC，
∴DA=DH，
∴△DAE≌△DHF（ASA），
∴AE=HF，
∵∠C=∠HDC=45°，
∴DH=CH=AD，
∴AE+CF=HF+CF=CH=AD．

（2）不成立 應為

理由如下：作于點,

∵

∴

∵平分

∴

∵

∴ ∠ABC=∠ACB=45°

∴ ∠ADG=360°-90°-90°-45°=135°

∵＝135°

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∴，

∵

∴

（3）①如圖③-1中，作DH⊥BC于H．

由（1）可知：DA=DH=CH，設DA=DH=HC=a，則CD=a，AB=AC=BH=a+a，
∴2a+a=2+，
∴a=1，
∴AD=1，
∵∠CDF=15°，
∴∠ADE=180°-135°-15°=30°，
∴AE=，
∵AE+CF=AD，
∴CF=1-
②如圖③-2中，當∠CDF=15°時，作DH⊥BC于H，

∵AD=DH═CH=1，∠CFD=30°，
∴FH=DH=，
∴CF=FH-CH=-1
綜上所述，滿足條件的CF的值為 或