Question

【題目】如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作AG∥DB交CB的延長線于點G．

（1）求證：DE∥BF；
（2）若∠G=90°，求證：四邊形DEBF是菱形；
（3）請利用備用圖分析，在（2）的條件下，若BE=4，∠DEB=120°，點M為BF的中點，當點P在BD邊上運動時，求PF+PM的最小值，并求出此時線段BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴DF=BE，又AB∥CD，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∴DE∥BF

（2）

證明：∵AG∥DB，AD∥CG，

∴四邊形AGBD是平行四邊形，

∵∠G=90°，

∴平行四邊形AGBD是矩形，

∴∠ADB=90°，又E為邊AB的中點，

∴ED=EB，又四邊形DEBF是平行四邊形，

∴四邊形DEBF是菱形

（3）

解：連接EF，連接EM交BD于P，

∵四邊形DEBF是菱形，

∴點E和點F關于BD軸對稱，此時PF+PM的值最小，

∵四邊形DEBF是菱形，∠DEB=120°，

∴∠EBF=60°，

∴△BEF是等邊三角形，又BE=4，

∴EM=2 ，即PF+PM的最小值為2 ，

由題意得，點P為△EBF的重心，

∴BP= ．

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得到DF=BE，AB∥CD，根據平行四邊形的判定定理證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據平行四邊形的性質證明結論；（2）根據矩形的判定定理得到四邊形AGBD是矩形，根據直角三角形的性質得到ED=EB，證明結論；（3）連接EM交BD于P，根據軸對稱的性質證明此時PF+PM的值最小，根據等邊三角形的性質計算即可．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和菱形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．