Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C = 90°，點O是斜邊AB上一定點，到點O的距離等于OB的所有點組成圖形W，圖形W與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，∠AED=∠B．

（1）判斷圖形W與AE所在直線的公共點個數，并證明．

（2）若，，求OB．

Answer 1

【答案】（1）有一個公共點，證明見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據題意作出圖形W，再作輔助線,連接OE，證明AE是圓O的切線即可；

（2）先利用解直角三角形的知識求出CE=1，從而求出BE=3．再由AC∥DE 得出，把各線段的長代入即可求出OB的值.

（1）判斷有一個公共點

證明：連接OE，如圖．

∵ BD是⊙O的直徑，

∴ ∠DEB=90°．

∵ OE=OB，

∴ ∠OEB=∠B．

又∵∠AED=∠B，

∴ ∠AED=∠OEB．

∴ ∠AEO =∠AED+∠DEO

=∠OEB +∠DEO

=∠DEB=90°．

∴ AE是⊙O的切線．

∴圖形W與AE所在直線有1個公共點．

（2）解：∵ ∠C = 90°，，，

∴ AC=2，．

∵ ∠DEB=90°，

∴ AC∥DE．

∴ ∠CA E=∠AED=B ．

在Rt△ACE中，∠C = 90°，AC=2，

∴ CE=1．

∴ BE=3．

∵AC∥DE

∴．

∴，

∴．