Question

已知：拋物線l₁：y=﹣x²+bx+3交x軸于點A，B，（點A在點B的左側），交y軸于點C，其對稱軸為x=1，拋物線l₂經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸于點D（0，﹣）．

（1）求拋物線l₂的函數表達式；

（2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當PA=PC時，求點P的坐標；

（3）M為拋物線l₂上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l₁于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線l₁：y=﹣x²+bx+3的對稱軸為x=1，

∴﹣=1，解得b=2，

∴拋物線l₁的解析式為y=﹣x²+2x+3，

令y=0，可得﹣x²+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A點坐標為（﹣1，0），

∵拋物線l₂經過點A、E兩點，

∴可設拋物線l₂解析式為y=a（x+1）（x﹣5），

又∵拋物線l₂交y軸于點D（0，﹣），

∴﹣=﹣5a，解得a=，

∴y=（x+1）（x﹣5）=x²﹣2x﹣，

∴拋物線l₂的函數表達式為y=x²﹣2x﹣；

（2）設P點坐標為（1，y），由（1）可得C點坐標為（0，3），

∴PC²=1²+（y﹣3）²=y²﹣6y+10，PA²=[1﹣（﹣1）]²+y²=y²+4，

∵PC=PA，

∴y²﹣6y+10=y²+4，解得y=1，

∴P點坐標為（1，1）；

（3）由題意可設M（x，x²﹣2x﹣），

∵MN∥y軸，

∴N（x，﹣x²+2x+3），x²﹣2x﹣

令﹣x²+2x+3=x²﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，

①當﹣1＜x≤時，MN=（﹣x²+2x+3）﹣（x²﹣2x﹣）=﹣x²+4x+=﹣（x﹣）²+，

顯然﹣1＜≤，∴當x=時，MN有最大值；

②當＜x≤5時，MN=（x²﹣2x﹣）﹣（﹣x²+2x+3）=x²﹣4x﹣=（x﹣）²﹣，

顯然當x＞時，MN隨x的增大而增大，

∴當x=5時，MN有最大值，×（5﹣）²﹣=12；

綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值為12．