Question

如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，連接BD，CD．
（1）求證：BD=CD；
（2）若∠ABC的平分線交AD于點E，求證：CD=DE．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理以及圓心角與所對弦的關系，直接得出答案即可；
（2）利用角平分線的性質以及等腰三角形的性質即可得出BD=DE，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵AD為直徑，AD⊥BC，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD．

（2）∵

BD

=

CD

，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠ABC的平分線交AD于點E，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF，
即∠BED=∠EBD，
∴BD=DE，
∴CD=DE．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理和角平分線的性質，根據已知得出∠DBE=∠BED是解題關鍵．