Question

拋物線對(duì)稱軸為直線x=4，且過(guò)點(diǎn)O（0，0），B（-2，-10），A是拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸以每秒鐘一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，矩形CDEF內(nèi)接于拋物線，C、D在x軸上，E、F在拋物線上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（0＜t＜4）為何值時(shí)，內(nèi)接矩形CDEF的周長(zhǎng)最長(zhǎng)？并求周長(zhǎng)的最大值；
（3）在（2）中內(nèi)接矩形CDEF的周長(zhǎng)取得最大的條件下，x軸上是否存在點(diǎn)P使△PEF為直角三角形（P為直角頂點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)稱軸x=4及過(guò)點(diǎn)O（0，0），可得A（8，0），設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=ax（x-8），將B（-2，-10）代入，可求拋物線解析式；
（2）由已知得C（t，0），用拋物線解析式表示CF，由拋物線的對(duì)稱性可知D（8-t，0），則CD=8-2t，可表示矩形CDEF的周長(zhǎng)，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求周長(zhǎng)的最大值；
（3）不存在．由（2）的結(jié)論求E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，以EF為直徑畫圓，判斷這個(gè)圓與x軸無(wú)交點(diǎn)即可．

解答：解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為x=4，又過(guò)點(diǎn)O（0，0），
∴A（8，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-8），將B（-2，-10）代入，得a=-

1

2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

x（x-8）=-

1

2

x²+4x；

（2）∵C（t，0），
∴F（t，-

1

2

t²+4t），
∴CF=-

1

2

t²+4t，
由拋物線的對(duì)稱性可知D（8-t，0），
∴CD=8-t-t=8-2t，
∴矩形CDEF的周長(zhǎng)=2（CF+CD）=2（-

1

2

t²+4t+8-2t）=-t²+4t+16，
∵-1＜0，二次函數(shù)-t²+4t+16開(kāi)口向下，
∴當(dāng)t=2時(shí)，矩形CDEF的周長(zhǎng)最大值為20；

（3）不存在．
當(dāng)t=2時(shí)，F(xiàn)（2，6），E（6，6），
∴EF=6-2=4，EF與x軸的距離為6，
以EF為直徑的圓與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
∴不存在點(diǎn)P，使△PEF為直角三角形（P為直角頂點(diǎn)）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)拋物線及矩形的對(duì)稱性求點(diǎn)的坐標(biāo)，確定拋物線解析式，再表示矩形各頂點(diǎn)坐標(biāo)及矩形的邊長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．