Question

【題目】如圖1，C是線段BE上一點，以BC、CE為邊分別在BE的同側作等邊△ABC和等邊△DCE，連結AE、BD．

（1）求證：BD=AE；

（2）如圖2，若M、N分別是線段AE、BD上的點，且AM=BN，請判斷△CMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）等邊三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質，可證明△DCB≌△ACE，可得到BD=AE；

（2）結合（1）中△DCB≌△ACE，可證明△ACM≌△BCN，進一步可得到∠MCN=60°且CM=CN，可判斷△CMN為等邊三角形．

試題解析：（1）∵△ABC、△DCE均是等邊三角形，

∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△DCB和△ACE中，∵AC=BC，∠BCD =∠ACE， DC=DE，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴BD=AE；

（2）△CMN為等邊三角形，理由如下：由（1）可知：△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN，

∵AC=BC，AM=BN，

在△ACM和△BCN中，∵AC=BC，∠CAM=∠CBN，AM=BN，∴△ACM≌△BCN（SAS），

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，

∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°，∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°，∴△CMN為等邊三角形．