Question

【題目】如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC的中點，且∠A＋∠CDB＝90°，過點A、D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E.

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

又∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，

∴BD⊥OD，

∴BD是⊙O切線；

（2）連接DE，

∵AE是直徑，

∴∠ADE=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠ADE=∠C，

∴DE∥BC，

又∵D是AC中點，

∴AD=CD，

∴AD：CD=AE：BE，

∴AE=BE，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD：AE=AC：AB，

∴AC：AB=4：5，

設AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，

∴BC：AB=3：5，

∵BC=6，

∴AB=10，

∴AE=AB=10．

【解析】試題分析：（1）、連接OD，根據△AOD為等腰三角形可得∠A=∠ODA，根據∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°，從而得出∠BDO=90°；（2）、連接OE，根據直徑所對的圓周角為直角得出∠ADE=90°，根據D為中點可得E為AB的中點，根據△ADE和△ACB相似可得AC：AB=4:5，然后求出BC的長度，從而得出直徑的長度.

試題解析：（1）、連接OD，在△AOD中，OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90° ∴∠ODA＋∠CDB＝90°， ∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD與⊙O相切．

（2）、連接DE，∵AE是⊙O的直徑， ∴∠ADE＝90°， ∴DE∥BC.

又∵D是AC的中點，∴AE＝BE. ∴△AED∽△ABC.

∴AC∶AB＝AD∶AE. ∵AD：AE=4:5 ∴AC∶AB＝4∶5，

令AC＝4x，AB＝5x，則BC＝3x. ∵BC＝6，∴AB＝10，

∴AE＝5，∴⊙O的直徑為5.