Question

【題目】如圖1所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖2，將拋物線先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線，若拋物線與拋物線相交于點，連接，，．

①求點的坐標；

②判斷的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點的坐標；②是等腰直角三角形，理由見解析；（3）或．

【解析】

（1）將點代入即可得；

（2）①先根據二次函數的平移規律得出拋物線的表達式，再聯立兩條拋物線的表達式求解即可得；

②先根據拋物線的表達式求出點B、C的坐標，再利用兩點之間的距離公式分別求出BC、BD、CD的長，然后根據勾股定理的逆定理、等腰三角形的定義即可得；

（3）設點P的坐標為，根據等腰直角三角形的定義分三種情況：①當時，先根據等腰直角三角形的性質、線段中點的點坐標求出點P的坐標，再代入拋物線的表達式，檢驗點P是否在拋物線的表達式上即可；②當時，先根據平行四邊形的判定得出四邊形BCDP是平行四邊形，再根據點C至點B的平移方式與點D至點P的平移方式相同可求出點P的坐標，然后代入拋物線的表達式，檢驗點P是否在拋物線的表達式上即可；③當時，先根據等腰直角三角形的性質得出點P在在線段BD的垂直平分線上，再利用待定系數法求出BD的垂直平分線上所在直線的解析式，然后根據兩點之間的距離公式和可求出點P的坐標，最后代入拋物線的表達式，檢驗點P是否在拋物線的表達式上即可．

（1）將點代入拋物線的表達式得：

解得

則拋物線的表達式為

故拋物線的表達式為；

（2）①由二次函數的平移規律得：拋物線的表達式為

即

聯立，解得

則點的坐標為；

②對于

當時，，解得或

則點B的坐標為

當時，，則點C的坐標為

由兩點之間的距離公式得：

則，

故是等腰直角三角形；

（3）拋物線的表達式為

設點P的坐標為

由題意，分以下三種情況：

①當時，為等腰直角三角形

是等腰直角三角形，，

點D是CP的中點

則，解得

即點P的坐標為

對于拋物線的表達式

當時，

即點在拋物線上，符合題意

②當時，為等腰直角三角形

，

，

四邊形BCDP是平行四邊形

點C至點B的平移方式與點D至點P的平移方式相同

點C至點B的平移方式為先向下平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度

即點P的坐標為

對于拋物線的表達式

當時，

即點在拋物線上，符合題意

③當時，為等腰直角三角形

則點P在線段BD的垂直平分線上

設直線BD的解析式

將點代入得：，解得

則直線BD的解析式

設BD的垂線平分線所在直線的解析式為

點的中點的坐標為，即

將點代入得：，解得

則BD的垂線平分線所在直線的解析式為

因此有，即點P的坐標為

由兩點之間的距離公式得：

又，為等腰直角三角形

則

解得或

當時，，即點P的坐標為

當時，，即點P的坐標為

對于拋物線的表達式

當時，

即點不在拋物線上，不符合題意，舍去

當時，

即點不在拋物線上，不符合題意，舍去

綜上，符合條件的點P的坐標為或．