Question

【題目】如圖，二次函數y＝2mx2+5mx﹣12m（m為參數，且m＜0）的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣4，0）．

（1）求直線AC的解析式（用含m的式子表示）．

（2）若m＝﹣，連接BC，判斷∠CAB和∠CBA的數量關系，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，設點M為AC上方的拋物線上一動點（與點A，C不重合），以M為圓心的圓與直線AC相切，求⊙M面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣3mx﹣12m；（2）∠CBA＝2∠CAB；（3）0＜S⊙M≤．

【解析】

（1）由拋物線的解析式求出C點坐標，再用待定系數法求直線AC的解析式；

（2）作點B關于y軸的對稱點B'，連接CB'．證明AB'＝CB'便可得結論；

（3）過M點ME∥y軸，交AC于點E，設M點的橫坐標為m，用m表示MD，再根據二次函數的性質求得MD的最大值，最后根據圓的面積公式便可求得結果．

（1）令x＝0，得y＝2mx2+5mx﹣12m＝﹣12m，

設直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），則，

∴，

∴直線AC的解析式為：y＝﹣3mx﹣12m；

（2）∠CBA＝2∠CAB．

理由如下：

如圖1，作點B關于y軸的對稱點B'，連接CB'．

∴CB＝CB'，

∴∠CBA＝∠CB'O，

∵m＝﹣時，拋物線的解析式為：，

∴C（0，2），

∴OC＝2，

當y＝0，得＝0，

解得x＝﹣4或，

∴A（﹣4，0），B（，0），

∴B'（﹣，0），

∴AB'＝，CB'＝

∴AB'＝CB'，

∴∠CAB＝∠ACB'，

∵∠CB'O＝∠CAB+∠ACB'＝2∠CAB，

∴∠CBA＝2∠CAB；

（3）如圖2，以MD為半徑做圓，過M點ME∥y軸，交AC于點E，

則∠MEC＝∠ACO，

∵A（﹣4，0），以（0，2）

∴直線AC的解析式為y＝，

設M（m，）（﹣4＜m＜0），則E（m，），

∴，

在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，由勾股定理可得AC＝2，

∴sin∠MED＝，

∴，

由二次函數的性質知，當m＝﹣2時，DE有最大值為：，

∴，

∴⊙M面積的最大值為：π×（）2＝，

∴⊙M面積的取值范圍為：0＜S⊙M≤．