Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．

（1）求⊙O的半徑OD；

（2）求證：AE是⊙O的切線；

（3）求圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

【答案】解：（1）∵AB與圓O相切，∴OD⊥AB。

在Rt△BDO中，BD=2， ，

∴OD=3。

（2）連接OE，

∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四邊形AEOD為平行四邊形。

∴AD∥EO。

∵DA⊥AE，∴OE⊥AC。

又∵OE為圓的半徑，∴AC為圓O的切線。

（3）∵OD∥AC，∴△DBO∽△ABC。

∴，即。∴AC=。∴EC=AC﹣AE=﹣3=。

又∵易得四邊形ADOE是正方形，∴∠DOE=90°。∴∠FOD+∠EOG=90°。

∴S陰影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×﹣。

【解析】

試題（1）由AB為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數定義，根據tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可。

（2）連接OE，由AE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證。

（3）陰影部分的面積由三角形BOD的面積+三角形ECO的面積﹣扇形DOF的面積﹣扇形EOG的面積，求出即可。