Question

【題目】在正方形ABCD中，AB＝6，連接AC，BD，P是正方形邊上或對角線上一點，若PD＝2AP，則AP的長為_____．

Answer 1

【答案】2，2或

【解析】

根據正方形的性質得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根據勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，畫出符合的三種情況，根據勾股定理求出即可．

解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，

∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

.

有6種情況：①點P在AD上時，

∵AD=6，PD=2AP，

∴AP=2；

②點P在AC上時，

設AP=x，則DP=2x，

在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，

,

解得：（負數舍去），

即AP=；

③點P在AB上時，

設AP=y，則DP=2y，

在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，

y2+62=（2y）2，

解得：y=2（負數舍去），

即AP=2；

④當P在BC上，設BP=x，

∵DP=2AP，

即x2+6x+24=0，

△=62-4×1×24＜0，此方程無解，

即當點P在BC上時，不能使DP=2AP；

⑤P在DC上，

∵∠ADC=90°，

∴AP＞DP，不能DP=2AP，

即當P在DC上時，不能具備DP=2AP；

⑥P在BD上時，

過P作PN⊥AD于N，過P作PM⊥AB于M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ANP=∠AMP=90°，

∴四邊形ANPM是矩形，

∴AM=PN，AN=PM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∵∠PMB=90°，

∴∠MBP=∠MPB=45°，

∴BM=PM=AN，

同理DN=PN=AM，

設PM=BM=AN=x，則PN=DN=AM=6-x，

都不能DP=2AP，

∵DP=2AP，

∴由勾股定理得：，

即x2-4x+12=0，

△=（-4）2-4×1×12＜0，此方程無解，

即當P在BD上時，不能DP=2AP，

故答案為2或2或.