Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P是CD的中點，連接AP并延長，交BC的延長線于點F，作△CPF的外接圓⊙O，連接BP并延長交⊙O于點E，連接EF，則EF的長為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，
∵P為CD的中點，CD=AB=BC=2，
∴CP=1，
∵PC∥AB，
∴△FCP∽△FBA，
∵CP=1，AB=BC=2，
∴ = ，
∴ = ，
∴BF=4，
∴CF=4﹣2=2，
由勾股定理得：BP= = ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCP=∠PCF=90°，
∴PF是直徑，
∴∠E=90°=∠BCP，
∵∠PBC=∠EBF，
∴△BCP∽△BEF，
∴ ，
∴ = ，
∴EF= ，
故選：D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．