Question

【題目】如圖，AD是△ABC的高，E為AC上一點， BE交AD于F，且有DC=FD，AC=BF．

（1）說明△BFD≌△ACD；

（2）若，求AD的長；

（3）請猜想BF和AC的位置關系并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=；（3）BF⊥AC.

【解析】試題分析：（1）在Rt△ACD和Rt△BFD中，根據直角邊DC=FD和斜邊AC=BF對應相等，可證明△BFD≌△ACD；

（2）由（1）知：AD=BD，又AD⊥BC，△ADB為等腰直角三角形，已知斜邊AB的長，運用勾股定理可將AD的長求出；

（3）由△ADC≌△BDF，得到∠EBC=∠DAC，又因為∠DAC+∠ACD=90°，所以∠EBC+∠ACD=90°，則BE⊥AC，即BF⊥AC．

試題解析：解：（1）∵AD是ABC的高，∴△ACD與△BFD都是直角三角形，

∵DC=FD，AC=BF，∴Rt△ACD≌Rt△BFD．

（2）∵Rt△ACD≌Rt△BFD，∴AD=BD．

在Rt△ACD中，∵AD2+BD2=AB2，∴2AD2=AB2，∴AD=；

（3）∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC=∠DAC．

又∵∠DAC+∠ACD=90°，∴∠EBC+∠ACD=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥AC，即BF⊥AC．