Question

【題目】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，過(guò)作于，設(shè)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)也是邊中點(diǎn)時(shí)，求的值；

（3）若以，，為頂點(diǎn)的三角形也與相似，試求的值；

（4）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)交于點(diǎn)，試判斷與的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）或；（4）．

【解析】

（1）先證明∠PAF＝∠AEB，再由∠PFA＝∠ABE＝90°，即可證出△PFA∽△ABE．

（2）當(dāng)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，AP＝2，由△PFA∽△ABE，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：當(dāng)△EFP∽△ABE時(shí)，則PE∥AB，得出四邊形ABEP為矩形．求出PA＝EB＝2，即x＝2；當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB時(shí)，先求出∠PAF＝∠AEB，得到PE＝PA ，再由勾股定理得出AE的長(zhǎng)，再得出EF的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PE的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論；

（4）先證明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再證明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE＝∠BAE．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∴∠ABE＝90°，∠PAF＝∠AEB．

又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝∠ABE＝90°，∴△PFA∽△ABE．

（2）當(dāng)P是AD的中點(diǎn)時(shí)，AP＝2．

∵△PFA∽△ABE，∴，即，∴AF；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB時(shí)，則有PE∥AB，∴四邊形ABEP為矩形，∴PA＝EB＝2，即x＝2．

②當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB時(shí)．

∵∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF，∴PE＝PA．

∵PF⊥AE，∴點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)．

∵AE，∴EF

，即，∴PE＝5，∴AP=5，即x＝5；

∴滿足條件的x的值為2或5；

（4）∠GAE＝∠BAE．理由如下：

如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠BAE+∠AEB＝90°．

∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2，∴AE．

∵PE⊥AE，∴∠AEP＝90°，∠AEB+∠CEG＝90°，∴∠CEG＝∠BAE，∴△ECG∽△ABE，∴，即，∴CG＝1，∴EG

，∴．

又∵∠AEP＝∠B＝90°，∴△AEG∽△ABE，∴∠GAE＝∠BAE．