Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D

(1)求證：BE=CF；

(2)當四邊形ACDE為平行四邊形時，求證：△ABE為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=CF；

(2) 首先證得△AFC為等腰直角三角形，然后即可證得△ABE為等腰直角三角形.

證明： (1)∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，

∴BE=CF；

(2)在□ABCD中，∠EAC+∠ACF=180°，

∴∠EAF=∠BAC=45°，

∴∠FAB+∠ACF=90°，

又AF=AC，

∴∠F=∠ACF，

∴∠FAB+∠F=90°，

∴∠ACF=45°，

∴△AFC為等腰直角三角形，

∴△ABE為等腰直角三角形.

故答案為：(1)證明見解析；(2)證明見解析.