Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BC．求證：

（1）∠PBC=∠CBD；

（2）=ABBD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一對(duì)直角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OC與BD平行，進(jìn)而得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由OB=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；

（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用圓周角定理得到∠ACB為直角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形CBD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，變形即可得證．

試題解析：（1）連接OC，∵PC與圓O相切，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵BD⊥PD，∴∠BDP=90°，∴∠OCP=∠PDB，∴OC∥BD，∴∠BCO=∠CBD，∵OB=OC，∴∠PBC=∠BCO，∴∠PBC=∠CBD；

（2）連接AC，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°，∵∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴，則=ABBD．