Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝60°，點E從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB運動，到點B停止運動．過點E作EF∥BD交AD于點F，將△AEF繞點E順時針旋轉得到△GEH，且點G落在線段EF上，設點E的運動時間為t（秒）（0＜t＜3）．

（1）若t＝1，求△GEH的面積；

（2）若點G在∠ABD的平分線上，求BE的長；

（3）設△GEH與△ABD重疊部分的面積為T，用含t的式子表示T，并直接寫出當0＜t＜3時T的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）3；（3）T＝．

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是矩形和EF∥BD，可推出AE和AF的長，即可求出答案；

（2）由BG平分∠ABD，可得∠EBG＝∠ABD＝30°，再根據∠AEG＝∠EBG+∠EGB＝60°，可得∠EBG＝∠EGB＝30°，即可推出BE的長；

（3）當點H落在BD上時，作EJ⊥BD于J，根據EF∥BD，推出△EBH是等邊三角形，從而得出t＝1，再分當0＜t≤1時和當1＜t＜3時兩種情況討論即可．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵EF∥BD，

∴∠AEF＝60°，

∵AE＝2，

∴AF＝AEtan60°＝，

∴S△EGH＝S△AEF＝AEAF＝×2×＝；

（2）如圖2中，

由題意得，BG平分∠ABD，

∴∠EBG＝∠ABD＝30°，

∵∠AEG＝∠EBG+∠EGB＝60°，

∴∠EBG＝∠EGB＝30°，

∴BE＝EG＝AE＝3；

（3）如圖1﹣1中，當點H落在BD上時，作EJ⊥BD于J，

∵EF∥BD，

∴∠FEH＝∠EHB＝60°，

∴△EBH是等邊三角形，

∴EH＝EB＝EF＝2AE，

∴AE＝2，BE＝4，

∴t＝1，

如圖3中，當0＜t≤1時，重疊部分是△EGH，T＝S△AEF＝×2t×2t×＝t2，

如圖4中，當1＜t＜3時，重疊部分是四邊形MNGE，作EJ⊥BD于J，

在Rt△EBJ中，∵BE＝6﹣2t，∠EBJ＝60°，

∴BJ＝BE＝3﹣t，EJ＝BJ＝3﹣t，

∵△EBM是等邊三角形，

∴BJ＝JM＝3﹣t，

∵四邊形EGNJ是矩形，

∴EG＝NJ＝2t，

∴MN＝NJ﹣MJ＝3t﹣3，

∴T＝（MN+EG）EJ＝（3t﹣3+2t）（3﹣t）＝t2+9t，

綜上所述，T＝．