Question

一個長方體的長、寬、高分別為正整數a，b，c，而且①ab-ca-bc=1，②ca=bc+1，試確定長方體的體積

6

．

Answer 1

分析：要求長方體的體積就得求出a，b，c的值．先將②代入①可以由a，b，c為正整數就可以求出b的值，再求出c的值和a的值，就可以求出長方體的體積．

解答：解：∵①ab-ca-bc=1，②ca=bc+1，
∴把②代入①得：
ab-bc-1-bc=1，
∴ab-2bc=2，
∴b（a-2c）=2．
∵a，b，c為正整數，
∴當b=1時，a-2c=2③
當b=2時，a-2c=1．④
當b=1時，a-2c=2時，
②變為：ca=c+1，
∴c（2+2c）=c+1，c=

1

2

或-1，都不符合題意．
當b=2時，a-2c=1時，ca=2c+1，
∴c（1+2c）=2c+1，c=-

1

2

或1，故c=1，
∴把b=2，c=1代入②，得
a=3，
∴長方體的體積為：1×2×3=6．
故答案為6．

點評：本題考查了長方體的體積的計算，因式分解的運用，正整數解的理解．