Question

在第一象限內，以為半徑的圓⊙M經過點A（-1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．
（1）在所給的坐標系中作出⊙M，并求M點的坐標；
（2）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（3）若D為⊙M上的最低點，E為x軸上的任一點，則在拋物線上是否存在這樣的點F，使得以點A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說出理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
作AB的垂直平分線交AB于N，則AN=AB=×4=2，
∴ON=AN-AO=2-1=1，
根據勾股定理，MN===1，
∴點M的坐標為（1，1），
取MN=1，以點M為圓心，以AM長為半徑作⊙M如圖所示；

（2）設點C的坐標為（0，y），
則MC==，
解得y₁=-1，y₂=3，
由圖可知，點C在y軸負半軸，
∴點C的坐標為（-1，0），
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則，
解得，
所以，拋物線解析式為y=x²-x-1；

（3）∵D為⊙M上的最低點，
∴點D的坐標為（1，1-），
∵E為x軸上的任一點，以點A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴AE∥DF，
①點F在x軸下方，點F的縱坐標與點D的縱坐標相同，為1-，
∵點F在拋物線上，
∴x²-x-1=1-，
整理得，x²-2x-6+3=0，
△=b²-4ac=4-4（-6+3）=28-12，
∴x==1±，
∴點F的坐標為F₁（1+，1-），F₂（1-，1-），
此時可以分別以AD為平行四邊形的邊和對角線作一個平行四邊形，共有4個平行四邊形，
②點F在x軸上方時，點F的縱坐標與點的縱坐標的長度相同，為-1，
∵點F在拋物線上，
∴x²-x-1=-1，
整理得，x²-2x-3=0，
△=b²-4ac=4-4×（-3）=4+12，
∴x==1±，
∴點F的坐標分別為F₃（1+，-1），F₄（1-，-1），
此時，以AD為平行四邊形的邊共可以作2個平行四邊形，
綜上所述，共有6個符合條件的平行四邊形，滿足條件的F點有4個，分別是：
F₁（1+，1-），F₂（1-，1-），F₃（1+，-1），F₄（1-，-1）．
分析：（1）根據點A、B的坐標求出AB的長，作AB的垂直平分線交AB于N，根據垂徑定理可得AN=AB，再求出ON，然后利用勾股定理列式求出MN的長，寫出點M的坐標即可；
（2）設點C的坐標為（0，y），利用兩點間距離公式列式計算即可求出y的值，從而得到點C的坐標，再設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），然后利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（3）先寫出點D的坐標（1，1-），再根據平行四邊形的對邊互相平行可得AE∥DF，然后分①點F在x軸下方，表示出點F的縱坐標，再代入拋物線解析式計算求出點F的橫坐標，②點F在x軸上方時，表示出點F的縱坐標，再代入拋物線解析式計算求出點F的橫坐標，從而得解．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了垂徑定理，待定系數法求二次函數解析式，平行四邊形的對邊平行的性質，（3）難度較大，難點在于要分情況討論，并且點F在x軸下方時，點F確定，AD既可以為平行四邊形的邊，也可以為平行四邊形的對角線．