Question

【題目】如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．

（1）求證：EF是⊙O切線；

（2）若AB=15，EF=10，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE=3．

【解析】分析: （1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OE，再證∠FEO＝90°即可；

（2）證明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例關(guān)系式，勾股定理得出AE，BF的關(guān)系式，求出AE的長．

詳解:

（1）證明：連接OE，

∵∠B的平分線BE交AC于D，

∴∠CBE=∠ABE．

∵EF∥AC，

∴∠CAE=∠FEA．

∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，

∴∠FEA=∠OEB．

∵∠AEB=90°，

∴∠FEO=90°．

∴EF是⊙O切線．

（2）解：∵AFFB=EFEF，

∴AF×（AF+15）=10×10．

∴AF=5．

∴FB=20．

∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，

∴△FEA∽△FBE．

∴EF=10

∵AE2+BE2=15×15．

∴AE=3．

點睛: 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．