Question

【題目】（2013年四川自貢12分）將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．

（1）將圖①中的△A1B1C順時針旋轉45°得圖②，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；

（2）在圖②中，若AP1=2，則CQ等于多少？

（3）如圖③，在B1C上取一點E，連接BE、P1E，設BC=1，當BE⊥P1B時，求△P1BE面積的最大值．

Answer 1

【答案】解答：（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°。

∵在△B1CQ和△BCP1中，，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）。∴CQ=CP1。

（2）如圖，過點P1作P1D⊥CA于D，

∵∠A=30°，∴P1D=AP1=1。

∵∠P1CD=45°，∴。.

∴CP1=P1D=。

又∵CP1=CQ，∴CQ=。

（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°。∴AC=、BC 。

由旋轉的性質可得：∠ACP1=∠BCE，∴△AP1C∽△BEC。∴AP1：BE=AC：BC=：1。

設AP1=x，則BE=x，

在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2。

∴。

∵，∴當x=1時，S△P1BE（max）=。

【解析】（1）先判斷∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可證明△B1CQ≌△BCP1，從而得出結論。

（2）過點P1作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，繼而可得出CQ的長度。

（3）證明△AP1C∽△BEC，則有AP1：BE=AC：BC=：1，設AP1=x，則BE=x，得出S△P1BE關于x的表達式，利用配方法求最值即可。