Question

如圖，AD為△ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于點E、BC的延長線于點F，AC于EF交于點O．
（1）求證：∠3=∠B；
（2）連接OD，求證：∠B+∠ODB=180°．

Answer 1

分析：（1）由AD為△ABC的角平分線，AD的中垂線交AB于點E、BC的延長線于點F，易得∠1=∠2，∠4=∠DAF=∠2+∠3，又由三角形外角的性質，即可證得：∠3=∠B；
（2）由AD的中垂線交AB于點E、BC的延長線于點F，AC于EF交于點O，易證得∠3=∠ODF，即可得OD∥AB，則可證得：∠B+∠ODB=180°．

解答：證明：（1）∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵AD的中垂線交AB于點E、BC的延長線于點F，
∴AF=DF，
∴∠4=∠DAF=∠2+∠3，
∵∠4=∠1+∠B，
∴∠3=∠B；

（2）∵EF是AD的中垂線，
∴OA=OD，
∴∠2=∠ODA，
∵∠4=∠DAF，
∴∠3=∠ODF，
∵∠3=∠B，
∴∠ODF=∠B，
∴OD∥AB，
∴∠B+∠ODB=180°．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質、角平分線的定義以及等腰三角形的判定與性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．