Question

【題目】如圖1，拋物線y1=ax2﹣x+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，），拋物線y1的頂點為G，GM⊥x軸于點M．將拋物線y1平移后得到頂點為B且對稱軸為直線l的拋物線y2．

（1）求拋物線y2的解析式；

（2）如圖2，在直線l上是否存在點T，使△TAC是等腰三角形？若存在，請求出所有點T的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點P為拋物線y1上一動點，過點P作y軸的平行線交拋物線y2于點Q，點Q關于直線l的對稱點為R，若以P，Q，R為頂點的三角形與△AMG全等，求直線PR的解析式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）應用待定系數法求解析式；

（2）設出點T坐標，表示△TAC三邊，進行分類討論；

（3）設出點P坐標，表示Q、R坐標及PQ、QR，根據以P，Q，R為頂點的三角形與△AMG全等，分類討論對應邊相等的可能性即可．

（1）由已知，c=，

將B（1，0）代入，得：a﹣=0，

解得a=﹣，

拋物線解析式為y1=x2- x+，

∵拋物線y1平移后得到y2，且頂點為B（1，0），

∴y2=﹣（x﹣1）2，

即y2=-x2+ x-；

（2）存在，

如圖1：

拋物線y2的對稱軸l為x=1，設T（1，t），

已知A（﹣3，0），C（0，），

過點T作TE⊥y軸于E，則

TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣t+，

TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，

AC2=，

當TC=AC時，t2﹣t+=，

解得：t1=，t2=；

當TA=AC時，t2+16=，無解；

當TA=TC時，t2﹣t+=t2+16，

解得t3=﹣；

當點T坐標分別為（1，），（1，），（1，﹣）時，△TAC為等腰三角形；

（3）如圖2：

設P（m，），則Q（m，），

∵Q、R關于x=1對稱

∴R（2﹣m，），

①當點P在直線l左側時，

PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，

∵△PQR與△AMG全等，

∴當PQ=GM且QR=AM時，m=0，

∴P（0，），即點P、C重合，

∴R（2，﹣），

由此求直線PR解析式為y=﹣x+，

當PQ=AM且QR=GM時，無解；

②當點P在直線l右側時，

同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，

則P（2，﹣），R（0，﹣），

PQ解析式為：y=﹣；

∴PR解析式為：y=﹣x+或y=﹣.