Question

【題目】某數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題做了如下研究：

（問題發現）（1）如圖①，在等邊三角形ABC中，點M是BC邊上任意一點，連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ABC和∠ACN的數量關系為　 　；

（變式探究）（2）如圖②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，點M是BC邊上任意一點（不含端點B，C，連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由；

（解決問題）（3）如圖③，在正方形ADBC中，點M為BC邊上一點，以AM為邊作正方形AMEF，點N為正方形AMEF的中心，連接CN，AB，AE，若正方形ADBC的邊長為8，CN＝，直接寫出正方形AMEF的邊長．

Answer 1

【答案】（1） ；（2），理由見解析；（3）10

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，證明△ABM≌△ACN，根據全等三角形的性質得到答案；

（2）證明△ABC∽△AMN．得到，再證明△ABM∽△ACN，根據相似三角形的性質證明結論；

（3）證明△ABM～△ACN，根據相似三角形的性質求出BM，根據勾股定理計算即可．

解：（1）∵△ABC與△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

在△ABM與△ACN中，

,

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠ABC＝∠ACN，

故答案為：∠ABC＝∠ACN；

（2）∠ABC＝∠ACN，

理由如下：∵AB＝BC，AM＝MN，

∴,

∴ ，又∠ABC＝∠AMN，

∴△ABC∽△AMN．

∴,

∵∠BAC＝∠MAN，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴△ABM∽△ACN，

∴∠ABC＝∠ACN；

（3）∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∠MAN＝45°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

∵,

∴,

又∠BAM＝∠CAN，

∴△ABM∽△ACN，

∴，即,

∴BM＝2，

∴CM＝6，

在Rt△AMC，AC＝8，CM＝6，

,

答：正方形AMEF的邊長為10．