Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，點C與點D在x軸上，且點A的坐標為（1，3）．已知直線y=-

3

4

x+

15

4

經過A、C兩點，拋物線y=ax²+bx經過A、B兩點．
（1）求出C點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若直線MN為拋物線的對稱軸，E為x軸上的一個動點，則是否存在以E點為圓心，且同時與直線MN和直線AC都相切的圓？如果存在，請求出⊙E的半徑；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據點C在x軸上，得出y=0，再把它代入直線，得出x的值，即可求出C點的坐標．
（2）本題根據C點的坐標和A的坐標，得出B點的坐標，再根據拋物線y=ax²+bx經過A、B兩點，求出a、b的值，即可求出解析式．
（3）本題需先判斷出存在，再結合圖形分兩種情況進行討論，當⊙E與直線MN和直線AC都相切時，設半徑為R，再過點E作EF⊥AC，得出EH、EF的長，再由勾股定理得出AC的值，再由已知條件得出△ECF與△GCH相似，即可求出⊙E的半徑；再結合圖形當在對稱軸MN的右側，同理也可求出R的值．

解答：解：（1）∵點C在x軸上，
∴把y=0代入y=-

3

4

x+

15

4

，
解得：x=5．
∴C點的坐標為（5，0）；

（2）∵C點的坐標為（5，0），A的坐標為（1，3），四邊形ABCD為矩形，
∴B點的坐標為（5，3），
∵拋物線y=ax²+bx經過A、B兩點．
∴

a+b=3 25a+5b=3

，
解得：a=-

3

5

；b=

18

5

．
∴y=-

3

5

x2+

18

5

x；

（3）存在．
①如圖，⊙E與直線MN和直線AC都相切，設半徑為R，過點E作EF⊥AC，垂足為F．則EH=EF=R．
在Rt△ADC中，由勾股定理得，AC=

AD2+CD2

=

32+42

=5．
依題意得：CH=DH，GH∥AD，
∴GH=

1

2

AD=

3

2

；CG=

1

2

AC=

5

2

．
∵∠CFE=∠CHG=90°，∠ECF=∠GCH，
∴△ECF∽△GCH，
∴

EF

GH

=

CE

CG

即

R

1.5

=

R+2

2.5

，
解得：R=3；
②在對稱軸MN的右側，同理可求得：R=

3

4

．
綜上，符合條件的圓心E有兩點，所對應的半徑分別是3和

3

4

．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合，在解題時要結合圖形以及二次函數的各個知識點，將它們綜合起來解此題是本題的關鍵．