Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點．拋物線與軸正半軸交于點，點的坐標為，是該拋物線第一象限圖像上的一點，三點均在某一個正方形的邊上，且該正方形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，設點的橫坐標為．若這個正方形的面積最小，則的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據拋物線與x軸正半軸交于點A，得點A坐標為（2，0），點B的坐標為（0，3），可得最小正方形的邊長為3，最小正方形的面積為9，根據題意可得A、B、C中任意兩個點不能重合，故此可以確定點C的橫坐標的取值范圍．

解：∵拋物線與x軸正半軸交于點A，

∴點A的坐標為（2，0），

如圖所示：

當A，B，C三點均在某一個正方形的邊上， 且該正方形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，

∵點B的坐標為（0，3）， 正方形的面積最小時， 此時正方形的邊長為3，

∴過點A、B、C的正方形的面積最小值為9，

∴S≥9．

當y=3時， 解得

∴當2＜m≤3，時， 正方形面積有最小值；

當m=-1時， 正方形最小邊長也為3， 正方形面積也有最小值，

∵C在第一象限，m＞0，

綜上所述：點C的橫坐標m的取值范圍是： 2＜m≤3．

故答案為：2＜m≤3．