Question

【題目】在邊長為10的等邊中，點從點出發沿射線移動，同時點從點出發沿線段的延長線移動，點、移動的速度相同， 與直線相交于點.

（1）如圖①，當點為的中點時，

（I）求證： ；（II）求的長；

（2）如圖②，過點作直線的垂線，垂足為，當點、在移動的過程中，試確定的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（I） （II）；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）I、過點P作PF∥AC交BC于點E，結合已知條件易證△PBF是等邊三角形，從而可得PF=BP=CQ，由此易證△PFD≌△QCD，即可得到PD=QD；II、由△PFD≌△QCD可得DF=DC；由△PBF是等邊三角形，點P是AB的中點可得BF=BP=5，由此可得FC=BC-BF=5，從而可得DC=CF=；

（2）由點P在射線BA上移動可知，需分點P在線段AB上和點P在線段AB的延長線上兩種情況討論：I、當點P在線段AB上時，如圖②，由△PFD≌△QCD可得DF=DC；由△BPF是等邊三角形，PE⊥BC于點E可得BE=FE；結合BF+FC即可得到2BE+2DC=BC，從而可得BE+DC=BC=；II、當點P在BA的延長線上時，如圖③，過點P作過點P作PG∥AQ交BC的延長線于點G，易證△PGD≌△QCD，這樣同理可得：此時BE-CD=BC=5.

試題解析：

（1）（I）如圖①，過點P作PF∥AC交BC于點E，

∴，

∴△是等邊三角形，

∴，

又∵的運動速度相同，且同時出發，

∴，

∴，

又∵∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，

∴PD=QD；

（II）∵P是AB的中點，△PBF是等邊三角形，

∴BP=BF=5，

∴CF=10-BF=5，

由（I）可知△PFD≌△QCD，

∴DF=DC=CF=；

（2）如圖②，

當點P在線段BA上時， =5，理由如下：

由（I）可知：△PFD≌△QCD，

∴DF=DC，

∵PE⊥BF，

∴BE=EF，

∵BF+CF=BC，

∴2BE+2CD=BC=10，

∴BE+CD=5，即BE+CD=BC=5；

如圖③，當點P在線段BA的延長線上時， =5，理由如下：

過點P作PG∥AQ交BC的延長線于點G，則∠G=∠DCQ=∠ACB=∠B=60°，∠GPD=∠CQD，

∴PG=BP，

∵點P、Q同時出發，且速度相同，

∴DQ=BP，

∴PG=QD，

∴△PGD≌△QCD，

∴DC=DG，即CG=2DC，

∵PG=PB，PE⊥BC于點E，

∴BE=GE，即BG=2BE，

∵BG-CG=BC，

∴2BE-2CD=BC，

∴BE-CD=BC=5.