Question

【題目】如圖，在邊長為正方形中，點是對角線的中點，是線段上一動點（不包括兩個端點），連接.

（1）如圖1，過點作交于點，連接交于點.

①求證：;

②設，，求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.

（2）在如圖2中，請用無刻度的直尺作出一個以為邊的菱形.

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②；（2）見解析

【解析】

（1）①連接DE，如圖1，先用SAS證明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四邊形的內角和可證明∠EBC=∠2，從而可得∠1=∠2，進一步即可證得結論；

②將△BAE繞點B順時針旋轉90°，點E落在點P處，如圖2，用SAS可證△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根據勾股定理整理即得y與x的函數關系式，再根據題意寫出x的取值范圍即可.

（2）由（1）題已得EB=ED，根據正方形的對稱性只需再確定點E關于點O的對稱點即可，考慮到只有直尺，可延長交AD于點M，再連接MO并延長交BC于點N，再連接DN交AC于點Q，問題即得解決.

（1）①證明：如圖1，連接DE，∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，

又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），

∴EB=ED，∠CBE=∠1，

∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，

∴∠EBC+∠EFC=180°，

∵∠EFC+∠2=180°，

∴∠EBC=∠2，

∴∠1=∠2.

∴ED=EF，

∴BE=EF.

②解：∵正方形ABCD的邊長為，∴對角線AC=2.

將△BAE繞點B順時針旋轉90°，點A與點C重合，點E落在點P處，如圖2，

則△BAE≌△BCP，

∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，

由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，

在△PBG與△EBG中，，

∴△PBG≌△EBG（SAS）.

∴PG=EG=2－x－y，

∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°，

∴在Rt△PCG中，由，得，

化簡，得.

（2）如圖3，作法如下：

①延長交AD于點M，

②連接MO并延長交BC于點N，

③連接DN交AC于點Q，

④連接DE、BQ，

則四邊形BEDQ為菱形.