Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，CD⊥AB于D，點P是線段CD上的一個動點，以點P為直角頂點向下作等腰直角△PBE，

連接DE ，則DE的最小值為__________．

Answer 1

【答案】1

【解析】連接AE，先證明∠BAE的度數為定值，即∠BAE=∠BCP=45°，再根據垂線段最短，當DE⊥AE時，DE最小，此時三角形ADE是等腰直角三角形，解直角三角形可得.

∵△ABC和△EBP均為等腰直角三角形

∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°

∴ ，且∠CBP=∠ABE

∴△CBP∽△ABE

∴∠BCP=∠BAE

∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB

∴∠BCP=45°

∴∠BAE=∠BCP=45°

即∠BAE的度數為定值，

當DE⊥AE時，DE最小，此時三角形ADE是等腰直角三角形，

因為，三角形ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，CD⊥AB

所以，AD=

所以，設AE=DE=x,則由AE2+DE2=AD2得，2x2=2,

解得x=1

所以，DE=1.

故答案為：1