Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,在△ABC中,DE∥BC分別交AB于D，交AC于E． 已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明發現,過點E作EF∥DC,交BC延長線于點F,構造△BEF,經過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖2)．

（1）求證：DE=CF

（2）求BC+DE的值

（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，已知ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）60°

【解析】

（1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，從而問題得以解決；
（2）由DC⊥BE，四邊形DCFE是平行四邊形，可得Rt△BEF，求出BF的長，證明BC+DE=BF；
（3）連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，問題得證．

（1）∵DE∥BC,EF∥DC，

∴四邊形DCFE是平行四邊形，

∴EF=CD=3，CF=DE，

（2）由于四邊形DCFE是平行四邊形，
∴DE=CF，DC=EF，
∴BC+DE=BC+CF=BF．
∵DC⊥BE，DC∥EF，
∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，
∵BE=5，CD=3，

∴BC+DE=BC+CF=BF=；

（3）解決問題：連接AE，CE，如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC．

∵四邊形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四邊形DCEF是平行四邊形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等邊三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．