Question

【題目】如圖，在中，，于點，點在上，且，連接．

（1）求證：

（2）如圖，將繞點逆時針旋轉得到（點分別對應點），設射線與相交于點，連接，試探究線段與之間滿足的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）EF=2HG

【解析】分析：（1）先判斷出AH=BH,再判斷出△BHD≌△AHC即可求解.（2）方法一、先判斷出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可；方法二、取EF的中點K，連接GK，HK，先證明GK=HK=EF,再證明△GKH是等邊三角形即可.

詳解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

，

∴△BHD≌△AHC，

∴

（2）方法1:如圖1，

∵△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到，

∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

∴點C，H，G，A四點共圓，

∴∠CGH=∠CAH，

設CG與AH交于點Q，

∵∠AQC=∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到，

∴EF=BD，

由（1）知，BD=AC，

∴EF=AC

∴

即：EF=2HG．

方法2:如圖2，取EF的中點K，連接GK，HK，

∵△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到，

∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

由旋轉知，∠EHF=90°，

∴EK=HK=EF

∴EK=GK=EF，

∴HK=GK，

∵EK=HK，

∴∠FKG=2∠AEF，

∵EK=GK，

∴∠HKF=2∠HEF，

由旋轉知，∠AHF=30°，

∴∠AHE=120°，

由（1）知，BH=AH，

∵BH=EH，

∴AH=EH，

∴∠AEH=30°，

∴∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，

∴△HKG是等邊三角形，

∴GH=GK，

∴EF=2GK=2GH，

即：EF=2GH．